Le sujet en bref
Le sujet des Pays du groupe 1 compte cinq exercices : un QCM sur un script de triangles, les fractions, l’écriture scientifique et la médiane, une cabane avec toboggan et bac à sable, deux programmes de calcul, un jeu de boules avec constitution de lots, puis deux tarifs de location de bateaux. Il fallait notamment trouver 39 lots et 166,10 € de sable.
Exercice 1 : QCM (18 points)
Aucune justification n’est attendue : sur la copie, il suffit de recopier le numéro de la question et la réponse. La partie A porte sur le bloc « triangle équilatéral » et le script principal de la page 2. Les explications ci-dessous servent à comprendre.
Partie A, question 1
Trouver l’angle à écrire dans le bloc pour tracer le triangle équilatéral.
Les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°.
À chaque sommet, le lutin tourne de l’angle qui complète l’angle intérieur à 180° : 180 − 60 = 120°.
Contrôle : 3 × 120° = 360°, soit un tour complet.
Réponse C : 120°.
Conseil : L’angle tourné par le lutin n’est pas l’angle intérieur du triangle : avec 60°, le tracé ne se refermerait pas au bout de trois côtés.
Partie A, question 2
Choisir la figure produite par le script principal.
Le lutin part de (0 ; 0), tourné vers la droite, et trace un premier triangle pointe en haut. Il revient à son point de départ et à son orientation de départ.
Il tourne ensuite de 60° vers la gauche, sans bouger. Son deuxième triangle part donc du même point, avec une direction qui suit le côté gauche du premier triangle.
Le deuxième triangle a ce côté en commun avec le premier et se trouve à sa gauche, pointe en bas.
Réponse C : les deux triangles ont un côté commun.
Partie A, question 3
Trouver le polygone obtenu avec 6 répétitions.
Le lutin trace 6 triangles équilatéraux autour du même point, en tournant de 60° à chaque fois.
6 × 60° = 360° : les triangles font exactement le tour du point de départ.
Leurs côtés extérieurs forment un polygone à 6 côtés de même longueur.
Réponse B : un hexagone.
Partie B, question 1
Trouver l’écriture égale au calcul de fractions proposé.
Dans la parenthèse, la multiplication passe avant la soustraction.
1/3 × 7/5 = 7/15
2/3 − 7/15 = 10/15 − 7/15 = 3/15
Diviser par 4/3 revient à multiplier par son inverse, 3/4.
Réponse C : 3/15 × 3/4.
Conseil : La réponse B vient d’une soustraction faite avant la multiplication : c’est une erreur de priorité.
Partie B, question 2
Mettre 302,4 × 10¹⁸ en écriture scientifique.
302,4 = 3,024 × 10²
302,4 × 10¹⁸ = 3,024 × 10² × 10¹⁸ = 3,024 × 10²⁰
Réponse B : 3,024 × 10²⁰.
Conseil : La réponse C a la même valeur, mais ce n’est pas une écriture scientifique : le premier nombre doit être compris entre 1 et 10, 10 exclu.
Partie B, question 3
Dire comment évolue la médiane si la masse de 18 g devient 16 g.
Masses rangées dans l’ordre croissant : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18.
Il y a 8 valeurs : la médiane est entre la 4ᵉ et la 5ᵉ valeur, soit 12 et 12. Elle vaut 12 g.
Après correction : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16. Les valeurs du milieu ne changent pas.
Réponse B : la médiane reste la même, 12 g.
Conseil : La moyenne, elle, baisserait. La médiane ne dépend ici que des deux valeurs du milieu, et 16 reste la plus grande.
Exercice 2 : la cabane du jardin (24 points)
Le schéma de la page 3 modélise la cabane. On sait que AB = 1,3 m, AC = 0,5 m, BC = DF = 1,2 m et DE = 2,04 m. D’après le codage, les triangles ABC, BMN et FDE sont rectangles en C, en N et en D.
Partie A, question 1
Vérifier que l’angle DEF du toboggan vaut 30° au degré près.
Dans le triangle FDE rectangle en D, [DF] est le côté opposé à l’angle DEF et [DE] est le côté adjacent.
tan(DEF) = DF/DE = 1,2/2,04
À la calculatrice : angle DEF ≈ 30,47°, soit 30° au degré près.
Oui : l’angle mesure 30° au degré près, donc le toboggan est sécurisé.
Conseil : À ce stade, seules DF et DE sont données : la tangente est le bon choix. Le cosinus avec 2,37 m utiliserait une valeur approchée.
Partie A, question 2
Établir la longueur approchée de la rampe EF.
Le triangle FDE est rectangle en D et son hypoténuse est [EF]. D’après le théorème de Pythagore :
EF² = DF² + DE²
EF² = 1,2² + 2,04² = 1,44 + 4,1616 = 5,6016
EF = √5,6016 ≈ 2,37 m
La rampe EF mesure environ 2,37 m.
Partie B, question 1
Prouver que (AC) et (MN) sont parallèles.
Le triangle ABC est rectangle en C, donc (AC) est perpendiculaire à (BC).
Le triangle BMN est rectangle en N, donc (MN) est perpendiculaire à (BC).
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
Les droites (AC) et (MN) sont parallèles.
Partie B, question 2
Calculer MN sachant que BN = 0,84 m.
Les points B, N, C et B, M, A sont alignés, et les droites (MN) et (AC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
BN/BC = BM/BA = MN/AC
0,84/1,2 = MN/0,5
MN = (0,84 × 0,5) ÷ 1,2 = 0,42 ÷ 1,2 = 0,35 m
La poutre [MN] mesure 0,35 m, soit 35 cm.
Conseil : Ordre de grandeur : N est sur [BC], donc MN doit être plus petit que AC = 0,5 m.
Partie C, question 1
Trouver le volume du bac en cm³.
Le bac est un pavé droit : on multiplie ses trois dimensions.
V = 200 × 180 × 20 = 720 000 cm³
Le volume du bac à sable est de 720 000 cm³.
Partie C, question 2
Répartir 0,72 m³ selon le ratio 3 : 2.
Le ratio 3 : 2 partage le volume en 3 + 2 = 5 parts égales.
Une part : 0,72 ÷ 5 = 0,144 m³.
Sable à maçonner, 3 parts : 3 × 0,144 = 0,432 m³.
Sable fin, 2 parts : 2 × 0,144 = 0,288 m³.
Contrôle : 0,432 + 0,288 = 0,72 m³.
Il faut bien 0,432 m³ de sable à maçonner et 0,288 m³ de sable fin.
Partie C, question 3
Calculer le prix total du sable, en sacs entiers.
Sable à maçonner : 0,432 ÷ 0,022 ≈ 19,6. Il faut acheter 20 sacs.
Coût : 20 × 2,95 = 59 €.
Sable fin : 0,288 ÷ 0,016 = 18. Il faut exactement 18 sacs.
Coût : 18 × 5,95 = 107,10 €.
Coût total : 59 + 107,10 = 166,10 €
Le sable coûtera 166,10 € en tout.
Conseil : Le poids des sacs ne sert pas ici : tout se calcule avec le volume et le prix.
Exercice 3 : les programmes d’Amir et de Sonia (15 points)
Amir soustrait 5 au nombre choisi, puis prend le double. Sonia ajoute 3, multiplie le résultat par le nombre choisi, puis soustrait 16. La feuille de calcul est à la page 5.
Question 1
Appliquer les deux programmes au nombre 6.
Programme d’Amir : 6 − 5 = 1, puis 2 × 1 = 2.
Programme de Sonia : 6 + 3 = 9, puis 9 × 6 = 54, puis 54 − 16 = 38.
Avec 6, on obtient bien 2 avec Amir et 38 avec Sonia.
Question 2. a)
Choisir la formule de la cellule B2.
Aucune justification n’est demandée. La formule doit partir du nombre de la cellule B1, lui soustraire 5, puis doubler le tout.
La formule avec −2 ne s’adapterait pas en l’étirant, et =B1−5*2 ne multiplie que 5 par 2.
Contrôle : (−2 − 5) × 2 = −14, la valeur de B2.
=(B1−5)*2
Question 2. b)
Lire dans le tableau le nombre qui donne le même résultat aux deux programmes.
Aucune justification n’est demandée. On cherche la colonne où les lignes 2 et 3 sont égales.
Dans la colonne F, les deux programmes donnent −6.
Ils doivent choisir 2.
Question 3. a)
Établir l’expression du programme de Sonia en fonction de x.
Nombre choisi : x
Ajouter 3 : x + 3
Multiplier par le nombre choisi : (x + 3) × x = x² + 3x
Soustraire 16 : x² + 3x − 16
Le programme de Sonia donne bien x² + 3x − 16.
Question 3. b)
Résoudre l’équation produit et conclure sur les nombres qui donnent le même résultat.
Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
x − 2 = 0, soit x = 2
x + 3 = 0, soit x = −3
Contrôle avec −3 : Amir obtient (−3 − 5) × 2 = −16, et Sonia obtient (−3 + 3) × (−3) − 16 = −16.
Les deux programmes donnent le même résultat pour x = 2 et pour x = −3.
Conseil : La feuille de calcul commence à −2 : c’est pourquoi elle ne montrait pas la solution −3.
Exercice 4 : jeu de boules et constitution de lots (22 points)
L’urne contient 7 boules indiscernables au toucher : 3 noires numérotées de 1 à 3 et 4 rouges numérotées de 1 à 4.
Partie A, question 1. a)
Trouver la probabilité d’une boule rouge.
Sur 7 boules, 4 sont rouges.
La probabilité vaut 4/7.
Partie A, question 1. b)
Trouver la probabilité d’un numéro pair.
Boules de numéro pair : la noire n° 2, la rouge n° 2 et la rouge n° 4. Cela fait 3 boules.
La probabilité vaut 3/7.
Conseil : Il y a deux boules portant le numéro 2 : compte-les toutes les deux.
Partie A, question 2
Calculer la probabilité de gagner avec deux tirages et remise de la première boule.
Comme la première boule est remise, les deux tirages se font dans la même urne de 7 boules. Il y a 7 × 7 = 49 issues, toutes équiprobables.
Le sujet n’impose pas d’ordre. Deux cas sont gagnants.
Rouge n° 1, puis une boule noire : 1 × 3 = 3 issues.
Une boule noire, puis rouge n° 1 : 3 × 1 = 3 issues.
Nombre d’issues gagnantes : 3 + 3 = 6.
Si on imposait de tirer la rouge n° 1 en premier, on obtiendrait 3/49. Le sujet ne le demande pas : on retient 6/49.
La probabilité de gagner vaut 6/49.
Partie B, question 1
Vérifier que 3 lots identiques sont possibles.
Il faut que 3 divise à la fois 195 et 234.
195 ÷ 3 = 65
234 ÷ 3 = 78
Oui : on peut faire 3 lots de 65 figurines et 78 autocollants.
Partie B, question 2
Écrire 195 comme un produit de nombres premiers.
195 = 3 × 65
65 = 5 × 13
3, 5 et 13 sont des nombres premiers.
195 = 3 × 5 × 13.
Partie B, question 3. a)
Trouver le nombre maximal de lots.
Le nombre de lots doit diviser 195 et 234 : c’est un diviseur commun. On cherche le plus grand.
195 = 3 × 5 × 13
234 = 2 × 3² × 13
Les facteurs communs sont 3 et 13, donc le plus grand diviseur commun vaut 3 × 13 = 39.
On peut constituer au maximum 39 lots.
Partie B, question 3. b)
Donner la composition d’un lot dans ce cas.
Figurines : 195 ÷ 39 = 5.
Autocollants : 234 ÷ 39 = 6.
Contrôle : 39 × 5 = 195 et 39 × 6 = 234.
Chaque lot contient 5 figurines et 6 autocollants.
Exercice 5 : location de bateaux électriques (21 points)
Les bateaux se louent pour un nombre entier d’heures. Le graphique de l’annexe, à la page 8, donne le tarif de la société A et doit être complété puis rendu avec la copie.
Question 1. a)
Lire le prix pour 2 heures avec la société A.
Aucune justification n’est demandée. Sur le graphique, le point d’abscisse 2 de la droite a pour ordonnée 60.
On paie 60 €.
Question 1. b)
Trouver le nombre d’heures entières possibles avec 100 €.
Aucune justification n’est demandée. Sur le graphique, 3 heures coûtent 90 € et 4 heures coûtent 120 €.
Avec 100 €, on peut payer 3 heures, mais pas 4.
On peut louer un bateau pendant 3 heures.
Question 1. c)
Justifier la proportionnalité avec le graphique.
La représentation graphique du tarif de la société A est une droite qui passe par l’origine du repère.
Le prix est proportionnel à la durée, car le graphique est une droite passant par l’origine.
Conseil : Les deux conditions comptent : une droite, et le passage par l’origine.
Question 1. d)
Calculer le prix de 10 heures.
Par proportionnalité, le prix d’une heure vaut 60 ÷ 2 = 30 €.
Pour 10 heures : 10 × 30 = 300 €
On paie 300 € pour 10 heures.
Question 2. a)
Établir le prix de 2 heures avec la société B.
60 + 15 × 2 = 60 + 30 = 90 €
Le prix à payer est bien de 90 €.
Question 2. b)
Tracer la représentation de f sur le graphique de l’annexe.
f est une fonction affine : sa courbe est une droite. Deux points suffisent, et un troisième permet de vérifier.
f(0) = 15 × 0 + 60 = 60 : la droite passe par le point (0 ; 60).
f(4) = 15 × 4 + 60 = 120 : elle passe par le point (4 ; 120).
f(8) = 15 × 8 + 60 = 180 : elle passe par le point (8 ; 180).
Trace à la règle la droite qui passe par ces points, sur l’annexe.
Une droite passant par (0 ; 60), (4 ; 120) et (8 ; 180).
Question 2. c)
Dire si le tarif de la société B est proportionnel.
La droite de la fonction f ne passe pas par l’origine, car f(0) = 60.
Autre justification : 2 heures coûtent 90 € et 4 heures coûtent 120 €, ce qui n’est pas le double.
Non : le prix payé n’est pas proportionnel à la durée de location.
Question 3. a)
Comparer les deux sociétés pour 3 heures.
Société A : 3 × 30 = 90 €.
Société B : f(3) = 15 × 3 + 60 = 105 €.
Il faut choisir la société A, et on paie 90 €.
Question 3. b)
Trouver la durée pour laquelle les deux tarifs sont égaux.
Sur le graphique, les deux droites se coupent au point de coordonnées (4 ; 120).
On le confirme par le calcul :
30x = 15x + 60
15x = 60
x = 60 ÷ 15 = 4
Contrôle : 30 × 4 = 120 et 15 × 4 + 60 = 120.
Pour 4 heures de location, les deux sociétés font payer le même prix, 120 €.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, partie A, question 1 : écrire 60° dans le bloc.
Écrire 120°.
Le lutin tourne de 180° moins l’angle intérieur du triangle, soit 180 − 60 = 120°.
Exercice 1, partie B, question 1 : calculer 2/3 − 1/3 en premier.
Calculer d’abord 1/3 × 7/5 = 7/15, puis soustraire.
La multiplication est prioritaire sur la soustraction, même dans une parenthèse.
Exercice 2, partie C, question 3 : garder 19,6 sacs de sable à maçonner.
Acheter 20 sacs, soit 59 €.
Le sujet impose des sacs entiers, et 19 sacs ne suffiraient pas à remplir le bac.
Exercice 4, partie B, question 3. a) : répondre 3 ou 13 lots.
Prendre le plus grand diviseur commun : 3 × 13 = 39.
3 et 13 sont des diviseurs communs de 195 et 234, mais le sujet demande le maximum.
Exercice 5, question 2. b) : faire partir la droite de l’origine.
La faire partir du point (0 ; 60).
La société B facture 60 € de frais de dossier : le tarif n’est pas proportionnel.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet du brevet de maths 2023 des Pays du groupe 1 ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Les cinq exercices sont indépendants et tu peux les traiter dans l’ordre de ton choix.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
L’exercice 1 vaut 18 points, l’exercice 2 en vaut 24, l’exercice 3 en vaut 15, l’exercice 4 en vaut 22 et l’exercice 5 en vaut 21.
Quelles questions n’ont pas besoin de justification ?
Tout le QCM de l’exercice 1, les questions 2. a) et 2. b) de l’exercice 3, ainsi que les questions 1. a) et 1. b) de l’exercice 5. Partout ailleurs, il faut justifier.
Que faut-il faire de l’annexe de ce sujet ?
L’annexe de la page 8 contient le graphique de l’exercice 5. Tu y traces la droite de la société B, puis tu la rends avec ta copie.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.