Le sujet en bref
Le sujet de Polynésie française compte cinq exercices : un QCM de quatre questions, un support de panneaux photovoltaïques avec Pythagore, tangente et Thalès, deux jeux de hasard, un programme de calcul sur Scratch, puis une piste de karting. Il fallait notamment vérifier un angle d’environ 32,7°, prouver un budget de 222 € et trouver que les deux pilotes se retrouvent au bout de 360 secondes.
Exercice 1 : QCM (16 points)
Aucune justification n’est demandée : sur la copie, il suffit d’écrire le numéro de la question et la réponse choisie. Les explications ci-dessous servent à comprendre chaque réponse.
Question 1
Reconnaître la droite qui représente f(x) = −2x + 3.
Le coefficient de x vaut −2 : il est négatif, donc la droite descend de la gauche vers la droite.
Sur les trois graphiques, seule la droite B descend.
Contrôle : f(0) = 3, et la droite B coupe l’axe des ordonnées en 3.
Réponse B.
Question 2
Lire sur la courbe la valeur de la fonction en 1.
On se place à l’abscisse 1 sur l’axe horizontal.
Le point de la courbe qui a cette abscisse est le point C, d’ordonnée 2.
Réponse A : l’image de 1 est 2.
Conseil : L’image se lit sur l’axe vertical. Le point B, d’ordonnée −2, a pour abscisse −1, et non 1.
Question 3
Choisir la formule à saisir en B2 pour remplir la ligne en l’étirant.
La formule doit dépendre de la cellule de la ligne 1 pour s’adapter à chaque colonne.
= −(−3) + 1 donnerait 4 dans toutes les cases.
= −x + 1 ne désigne aucune cellule : x n’est pas une adresse du tableur.
= −B1 + 1 donne 3 + 1 = 4 en B2. Étirée en C2, elle devient = −C1 + 1 et donne 2 + 1 = 3.
Réponse C : = −B1 + 1.
Question 4
Développer le carré (3x − 7)².
On utilise (a − b)² = a² − 2ab + b², avec a = 3x et b = 7.
(3x − 7)² = (3x)² − 2 × 3x × 7 + 7²
(3x − 7)² = 9x² − 42x + 49
Réponse B : 9x² − 42x + 49.
Conseil : La proposition C oublie le double produit, et la proposition A oublie aussi de mettre 3 au carré.
Exercice 2 : panneaux photovoltaïques (22 points)
Le plan détaillé de la page 3 montre une équerre : le triangle HPS est rectangle en P, avec HP = 90 cm et PS = 140 cm. Un panneau mesure 1 700 mm de long et fonctionne au mieux avec une inclinaison de 30° à 35°.
Question 1) a)
Contrôler la valeur annoncée pour HS.
Le triangle HPS est rectangle en P et son hypoténuse est [HS]. D’après le théorème de Pythagore :
HS² = HP² + PS²
HS² = 90² + 140² = 8 100 + 19 600 = 27 700
HS = √27 700 ≈ 166,43 cm
Arrondie au millimètre, HS mesure bien 166,4 cm.
Question 1) b)
Comparer HS à 95 % de la longueur du panneau.
1 700 mm = 170 cm.
95 % de 170 cm : 0,95 × 170 = 161,5 cm.
Comme 166,4 cm ≥ 161,5 cm, la distance HS respecte le conseil.
Oui, le support est conforme au conseil du fabricant.
Question 2
Dire si l’angle HSP se situe dans la plage de fonctionnement optimal.
Dans le triangle HPS rectangle en P, [HP] est le côté opposé à l’angle HSP et [PS] est le côté adjacent.
tan(HSP) = HP/PS = 90/140
À la calculatrice, l’angle HSP mesure environ 32,7°.
Comme 30° ≤ 32,7° ≤ 35°, l’inclinaison convient.
Oui : l’angle HSP mesure environ 32,7°, ce qui permet un fonctionnement optimal.
Conseil : Utilise ici les longueurs exactes HP et PS, plutôt que la valeur arrondie de HS.
Question 3
Trouver ST, arrondie au millimètre, avec UT = 50 cm.
(UT) et (HP) sont perpendiculaires à (PS) : elles sont donc parallèles.
Les points S, T, P sont alignés, ainsi que les points S, U, H. D’après le théorème de Thalès :
ST/SP = SU/SH = UT/HP
On utilise l’égalité ST/140 = 50/90.
ST = 140 × 50 ÷ 90 ≈ 77,78 cm
Contrôle avec la tangente : dans le triangle STU rectangle en T, ST = UT ÷ tan(HSP) = 50 ÷ (90/140) ≈ 77,78 cm.
ST ≈ 77,8 cm.
Question 4
Prouver qu’il faut prévoir au moins 222 € de tubes.
Une équerre avec sa barre de renfort demande environ 90 + 140 + 166,4 + 50 = 446,4 cm, soit 4,464 m.
Comme 4,464 m ≤ 4,5 m, un tube suffit pour une équerre. Il faut 3 tubes pour les 3 équerres.
Une barre latérale mesure 4 m. Il reste alors 0,5 m sur le tube, ce qui est trop court pour une autre pièce de 4 m. Il faut 3 tubes pour les 3 barres.
Cela fait 3 + 3 = 6 tubes.
Contrôle : le support demande en tout 3 × 4,464 + 3 × 4 = 25,392 m, alors que 5 tubes ne font que 5 × 4,5 = 22,5 m. Il faut donc bien 6 tubes.
Budget : 6 × 37 = 222 €.
Il faut 6 tubes : le budget minimum est bien de 222 €.
Conseil : Si tu ne comptes pas les barres de renfort, une équerre demande environ 3,964 m : il faut quand même 6 tubes, car 3 × 3,964 + 12 = 23,892 m dépasse 22,5 m.
Exercice 3 : deux jeux de hasard (18 points)
Le jeu 1 est un tirage dans un sac de 5 boules : une N, deux G et deux P. Le jeu 2 est une roue à 6 secteurs identiques, numérotés de 1 à 6.
Partie A, question 1
Établir la probabilité de tirer un G.
Les 5 boules sont indiscernables au toucher : chacune a la même chance d’être tirée.
2 boules sur 5 portent la lettre G.
La probabilité de gagner au jeu 1 est bien 2/5.
Partie A, question 2
Calculer la probabilité de tomber sur un nombre premier.
Entre 1 et 6, les nombres premiers sont 2, 3 et 5.
1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur.
Les 6 secteurs sont identiques et 3 sont gagnants : la probabilité vaut 3/6 = 1/2.
La probabilité de gagner au jeu 2 est 1/2.
Partie A, question 3) a)
Comparer les chances de gain des deux jeux.
2/5 = 0,4 et 1/2 = 0,5.
Comme 0,4 < 0,5, le jeu 1 donne moins de chances de gagner.
Le jeu 1 présente la plus faible probabilité de gagner.
Partie A, question 3) b)
Donner des boules à ajouter pour ramener la probabilité du jeu 1 à 1/4.
On garde les 2 boules G et on ajoute des boules qui ne portent pas la lettre G.
Pour avoir 2/n = 1/4, il faut n = 8 boules en tout.
Le sac en contient 5 : il faut en ajouter 8 − 5 = 3.
Par exemple, on ajoute 3 boules N. Le sac contient alors 8 boules, dont 2 G : 2/8 = 1/4.
On peut ajouter 3 boules N. Toute liste de 3 boules sans G convient, par exemple 1 N et 2 P.
Conseil : D’autres réponses sont justes. Avec 1 G et 6 boules sans G, on obtient 3 G sur 12 boules, soit 3/12 = 1/4.
Partie B
Calculer la probabilité de gagner en enchaînant le tirage et la roue.
Le sujet parle du sac du jeu 1 : on reprend le sac de départ, avec ses 5 boules. Les boules de la question 3) b) n’étaient qu’une proposition.
Une boule et un secteur forment une issue : il y a 5 × 6 = 30 issues équiprobables.
Pour gagner, il faut l’une des 2 boules G et l’un des 3 secteurs 2, 3 ou 5 : cela fait 2 × 3 = 6 issues gagnantes.
Probabilité = 6/30 = 1/5
Contrôle avec un arbre : 2/5 × 1/2 = 2/10 = 1/5.
La probabilité de gagner est 1/5, soit 0,2.
Conseil : Autre lecture, moins naturelle : avec le sac modifié à la question 3) b), on obtiendrait 1/4 × 1/2 = 1/8.
Exercice 4 : programme de calcul (22 points)
Le programme met le nombre choisi au carré, multiplie par 2, ajoute le nombre choisi, puis retire 66. Le bloc à compléter est à la page 5, et le script de Lucie à la page 6.
Question 1) a)
Dérouler le programme à partir de 4.
Carré : 4² = 16.
Multiplication par 2 : 16 × 2 = 32.
Ajout du nombre de départ : 32 + 4 = 36.
Soustraction de 66 : 36 − 66 = −30.
Avec 4 au départ, on obtient bien −30.
Question 1) b)
Dérouler le programme à partir de −3.
Carré : (−3)² = 9.
Multiplication par 2 : 9 × 2 = 18.
Ajout du nombre de départ : 18 + (−3) = 15.
Soustraction de 66 : 15 − 66 = −51.
Avec −3 au départ, on obtient −51.
Conseil : Le carré de −3 est 9, et non −9. Le nombre ajouté à la troisième étape reste bien −3.
Question 2) a)
Compléter les emplacements A et B du bloc.
Aucune justification n’est attendue. Voici le raisonnement.
La première ligne doit calculer le carré, soit le nombre choisi multiplié par lui-même.
La deuxième ligne doit multiplier ce résultat par 2.
A : la variable « nombre choisi » ; B : 2.
Question 2) b)
Interpréter le nombre 5,5 annoncé par le lutin.
Le script teste les nombres 0 ; 0,5 ; 1 ; … ; 9,5, car il ajoute 0,5 à chacun des 20 tours.
Le lutin ne parle que si le résultat du programme vaut 0.
Contrôle : 5,5² = 30,25 ; 30,25 × 2 = 60,5 ; 60,5 + 5,5 = 66 ; 66 − 66 = 0.
5,5 est un nombre de départ pour lequel le programme de calcul donne 0.
Question 3) a)
Traduire le programme par une expression en x.
Carré : x².
Multiplication par 2 : 2x².
Ajout du nombre de départ : 2x² + x.
Soustraction de 66 : 2x² + x − 66.
Contrôle avec x = 4 : 2 × 16 + 4 − 66 = −30.
Le programme donne 2x² + x − 66.
Question 3) b)
Résoudre l’équation produit tirée de la forme factorisée.
On résout (2x − 11)(x + 6) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
2x − 11 = 0 ou x + 6 = 0
2x = 11 ou x = −6
x = 5,5 ou x = −6
Contrôle avec −6 : 2 × 36 − 6 − 66 = 72 − 72 = 0.
Le résultat est égal à 0 pour x = 5,5 et pour x = −6.
Conseil : On retrouve 5,5, annoncé par le lutin. La solution −6 n’apparaît pas dans le script de Lucie, qui ne teste que des nombres positifs.
Exercice 5 : séance de karting (22 points)
La piste de la page 7 est une boucle qui relie D, E, F, G, H, I, J, K, L, A, B, C, puis revient en D. Le professionnel boucle un tour en 60 s, l’amateur en 72 s.
Question 1
Prouver que la piste mesure environ 1 045 m.
Segments : la figure donne DE = 90 m, BC = 120 m et LA = 60 m.
Le codage donne HI = DE = 90 m, et FG = JK = LA = 60 m.
Total des segments : 90 + 60 + 90 + 60 + 60 + 120 = 480 m.
Les arcs EF, GH, KL et AB sont quatre quarts de cercle de rayon 30 m. Ensemble, ils forment un cercle entier : 2 × π × 30 = 60π m.
Les arcs IJ et CD sont deux demi-cercles. Leur rayon porte le même codage que les segments de 60 m. Ensemble, ils forment un cercle de rayon 60 m : 2 × π × 60 = 120π m.
Longueur totale : 480 + 60π + 120π = 480 + 180π ≈ 1 045,49 m.
Arrondie à l’unité, la piste mesure bien 1 045 m.
Conseil : Regarde les codages avant de calculer : trois segments et la plupart des rayons n’ont pas de longueur écrite sur la figure.
Question 2
Trouver, en m/s et au centième, l’allure moyenne du professionnel sur un tour.
Vitesse moyenne = distance ÷ durée = 1 045 ÷ 60 ≈ 17,42 m/s
Le professionnel roule à environ 17,42 m/s.
Question 3
Comparer la vitesse moyenne de l’amateur à la limite de 60 km/h.
En 72 s, l’amateur parcourt environ 1 045 m.
Une heure compte 3 600 s, soit 3 600 ÷ 72 = 50 fois 72 s.
En une heure, à cette allure, il parcourrait 1 045 × 50 = 52 250 m, soit 52,25 km.
Sa vitesse moyenne est donc d’environ 52,25 km/h, et 52,25 < 60.
Oui, cet amateur respecte les règles de sécurité : il roule à environ 52,25 km/h.
Conseil : Avec la longueur non arrondie, 1 045,49 m, on trouve environ 52,27 km/h : la conclusion ne change pas.
Question 4) a)
Écrire 60 et 72 comme produits de nombres premiers.
60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2² × 3 × 5
72 = 8 × 9 = 2³ × 3²
60 = 2² × 3 × 5 et 72 = 2³ × 3².
Question 4) b)
Trouver le premier instant où les deux pilotes repassent ensemble sur la ligne.
Le professionnel passe sur la ligne à chaque multiple de 60 s, et l’amateur à chaque multiple de 72 s.
On cherche donc le plus petit multiple commun non nul de 60 et de 72.
Il doit contenir tous les facteurs des deux décompositions, avec leur plus grand exposant : 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360.
Contrôle : 360 = 60 × 6 et 360 = 72 × 5.
360 s = 6 min.
Ils se retrouvent pour la première fois sur la ligne au bout de 360 s, soit 6 minutes.
Conseil : Le produit 60 × 72 = 4 320 est un multiple commun, mais ce n’est pas le plus petit.
Question 4) c)
Compter les tours de chaque pilote à cet instant.
Professionnel : 360 ÷ 60 = 6 tours.
Amateur : 360 ÷ 72 = 5 tours.
Le professionnel a fait 6 tours et l’amateur 5 tours.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, question 4 : écrire (3x − 7)² = 9x² − 49.
Écrire 9x² − 42x + 49.
Le carré d’une différence contient un double produit : ici, 2 × 3x × 7 = 42x.
Exercice 2, question 1) b) : comparer 166,4 à 1 700 sans convertir.
Tout mettre en centimètres : 95 % de 170 cm font 161,5 cm.
HS est en centimètres et la longueur du panneau en millimètres.
Exercice 3, question 2 : compter 1 parmi les nombres premiers et répondre 4/6.
Garder 2, 3 et 5 : la probabilité vaut 3/6 = 1/2.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs, et 1 n’en a qu’un.
Exercice 5, question 1 : additionner seulement les longueurs écrites sur la figure.
Compter aussi HI = 90 m, FG = 60 m et JK = 60 m, ainsi que tous les arcs : 480 + 180π.
Les traits de codage indiquent des longueurs égales, même sans nombre écrit.
Exercice 5, question 4) b) : répondre 60 × 72 = 4 320 s.
Prendre le plus petit multiple commun : 360 s.
Le sujet demande la première rencontre sur la ligne, et 360 est déjà un multiple de 60 et de 72.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet du brevet de maths 2023 de Polynésie française ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Les cinq exercices sont indépendants et tu peux les traiter dans l’ordre de ton choix.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
L’exercice 1 vaut 16 points, l’exercice 3 en vaut 18, et les exercices 2, 4 et 5 en valent 22 chacun.
Quelles questions n’ont pas besoin de justification ?
Le QCM de l’exercice 1 et la question 2) a) de l’exercice 4. Partout ailleurs, il faut justifier.
Pourquoi le lutin de Lucie n’annonce-t-il pas −6 ?
Son script part de 0 et ajoute 0,5 à chaque tour, jusqu’à 9,5. Il ne teste donc jamais −6, qui est pourtant une solution de la question 3) b).
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.