Le sujet en bref
Le sujet d’Amérique du Nord compte cinq exercices : cinq affirmations à justifier, un programme de calcul avec une équation produit, trois tarifs de cinéma à comparer sur un graphique, une terrasse en béton (Pythagore, volume, ratio, peinture), puis une figure en papillon tracée sur Scratch. Il fallait notamment passer les 15 cm en mètres et partager le mélange selon le ratio 2 : 7 : 5.
Exercice 1 : cinq affirmations à justifier (20 points)
Chaque réponse doit être justifiée : écrire seulement « vrai » ou « faux » ne suffit pas. Les affirmations portent sur des statistiques, une vitesse, une probabilité et une homothétie.
Question 1, affirmation A
Contrôler la moyenne annoncée pour les cinq prix.
On additionne les cinq prix, puis on divise par 5.
(12 + 15 + 10 + 7 + 13) ÷ 5 = 57 ÷ 5 = 11,4
Affirmation A vraie : la moyenne des prix est 11,40 €.
Question 1, affirmation B
Contrôler la médiane annoncée pour les cinq prix.
On range d’abord les prix dans l’ordre croissant : 7 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15.
Il y a 5 valeurs : la médiane est la 3ᵉ, soit 12.
Affirmation B fausse : la médiane des prix est 12 €, et non 10 €.
Conseil : Ici, 10 est au milieu de la liste de l’énoncé, mais cette liste n’est pas rangée.
Question 2, affirmation C
Calculer la vitesse moyenne de l’élève en km/h.
L’élève parcourt 20 m en 6 s. Une heure dure 3 600 s, et 3 600 ÷ 6 = 600.
En une heure, à cette allure, elle parcourrait 20 × 600 = 12 000 m, soit 12 km.
Autre calcul : 20 ÷ 6 ≈ 3,33 m/s, et on multiplie par 3,6 pour passer en km/h. Exactement : (20/6) × 3,6 = 12 km/h.
Affirmation C fausse : sa vitesse moyenne est de 12 km/h, et non 14 km/h.
Question 3, affirmation D
Calculer la probabilité de tirer un nombre premier parmi les boules de 1 à 15.
Les nombres premiers compris entre 1 et 15 sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13 : il y en a 6.
Les 15 boules ont la même chance d’être tirées.
P(nombre premier) = 6/15 = 2/5
Or 6/15 ≠ 7/15.
Affirmation D fausse : la probabilité est 6/15, soit 2/5.
Conseil : Le nombre 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur. C’est en le comptant qu’on tombe sur 7/15.
Question 4, affirmation E
Comparer l’aire du triangle A′B′C′ à celle du triangle ABC.
Une homothétie de rapport −3 multiplie les longueurs par 3. La figure le confirme : 5 cm devient 15 cm, 6 cm devient 18 cm et 9 cm devient 27 cm.
Quand les longueurs sont multipliées par 3, les aires sont multipliées par 3² = 9.
Affirmation E fausse : l’aire de A′B′C′ vaut 9 fois celle de ABC.
Conseil : Le signe moins du rapport indique que l’image est de l’autre côté du centre O. Il ne change pas les longueurs : le coefficient d’agrandissement est 3.
Exercice 2 : programme de calcul à deux branches (20 points)
Le nombre de départ suit deux chemins : à gauche, on ajoute 2 puis on multiplie par 4 ; à droite, on multiplie par 5 puis on soustrait 3. On multiplie ensuite les deux résultats.
Question 1
Établir que le nombre 2 donne 112.
Branche de gauche : 2 + 2 = 4, puis 4 × 4 = 16.
Branche de droite : 2 × 5 = 10, puis 10 − 3 = 7.
Produit : 16 × 7 = 112.
Avec 2 au départ, on obtient bien 112.
Question 2
Faire tourner le programme avec −3.
Branche de gauche : −3 + 2 = −1, puis −1 × 4 = −4.
Branche de droite : −3 × 5 = −15, puis −15 − 3 = −18.
Produit : (−4) × (−18) = 72.
Avec −3 au départ, on obtient 72.
Conseil : Les deux branches donnent des nombres négatifs : leur produit est positif.
Question 3
Repérer les écritures correctes du résultat parmi les quatre expressions.
Aucune justification n’est demandée. Voici le raisonnement.
Branche de gauche : (x + 2) × 4, qui vaut aussi 4x + 8.
Branche de droite : 5x − 3.
Le résultat s’écrit donc (x + 2) × 4 × (5x − 3), c’est l’expression D, ou (4x + 8)(5x − 3), c’est l’expression C.
L’expression A ne convient pas : à cause de la priorité de la multiplication, x + 2 × 4 vaut x + 8.
L’expression B ne convient pas : le 2 n’y est pas multiplié par 4.
Les expressions C et D conviennent.
Conseil : Contrôle rapide : avec x = 2, seules C et D donnent 112.
Question 4
Déterminer les deux nombres de départ qui mènent à 0.
On cherche x tel que (4x + 8)(5x − 3) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
4x + 8 = 0 donne 4x = −8, donc x = −2.
5x − 3 = 0 donne 5x = 3, donc x = 3/5 = 0,6.
Vérification avec −2 : la branche de gauche donne (−2 + 2) × 4 = 0, donc le produit vaut 0.
Vérification avec 0,6 : la branche de droite donne 5 × 0,6 − 3 = 0, donc le produit vaut 0.
Les deux nombres de départ sont −2 et 0,6.
Conseil : Ne développe pas ici : la forme produit donne directement les deux solutions.
Question 5
Écrire l’expression B sans parenthèses, sous forme réduite.
On applique la double distributivité.
(4x + 2)(5x − 3) = 4x × 5x + 4x × (−3) + 2 × 5x + 2 × (−3)
= 20x² − 12x + 10x − 6
= 20x² − 2x − 6
Contrôle avec x = 1 : (4 + 2)(5 − 3) = 6 × 2 = 12, et 20 − 2 − 6 = 12.
(4x + 2)(5x − 3) = 20x² − 2x − 6
Exercice 3 : trois tarifs de cinéma (20 points)
Le tarif Classique coûte 11 € par entrée. Le tarif Essentiel coûte 50 € d’abonnement, puis 5 € par entrée. Le tarif Liberté coûte 240 € par an, quel que soit le nombre d’entrées.
Question 1
Trouver le prix de trois entrées au tarif Classique.
3 × 11 = 33 €
La personne va payer 33 €.
Question 2
Établir le prix de huit séances au tarif Essentiel.
Il faut compter l’abonnement et les huit entrées.
50 + 8 × 5 = 50 + 40 = 90 €
La personne va bien payer 90 €.
Question 3
Relier f, g et h aux trois tarifs.
Aucune justification n’est demandée. Voici le raisonnement.
f(x) = 50 + 5x contient l’abonnement de 50 € et 5 € par entrée : c’est le tarif Essentiel.
g(x) = 240 ne dépend pas du nombre d’entrées : c’est le tarif Liberté.
h(x) = 11x donne 11 € par entrée : c’est le tarif Classique.
f : Essentiel ; g : Liberté ; h : Classique.
Question 4
Repérer le tarif proportionnel au nombre d’entrées.
Le tarif Classique s’écrit h(x) = 11x : c’est une fonction linéaire, et sa droite (d₁) passe par l’origine du repère.
Le tarif Essentiel n’est pas proportionnel : sa droite (d₂) ne passe pas par l’origine, à cause de l’abonnement.
Le tarif Liberté ne l’est pas non plus : le prix reste à 240 € quand le nombre d’entrées change.
C’est le tarif Classique.
Question 5. a.
Trouver le nombre maximal d’entrées pour 150 € au tarif Essentiel.
Aucune justification n’est demandée. Sur le graphique, la droite (d₂) atteint 150 € pour 20 entrées.
Contrôle : 50 + 5 × 20 = 50 + 100 = 150 €.
On peut acheter 20 entrées au maximum.
Question 5. b.
Trouver le seuil à partir duquel le tarif Liberté est le meilleur.
Aucune justification n’est demandée. Sur le graphique, les droites (d₂) et (d₃) se croisent pour 38 entrées.
Contrôle : 50 + 5 × 38 = 50 + 190 = 240 €. À 38 entrées, les tarifs Essentiel et Liberté coûtent le même prix.
À 39 entrées, le tarif Essentiel coûte 245 € et le tarif Classique 429 € : le tarif Liberté, à 240 €, est alors le moins cher.
À partir de 39 entrées, le tarif Liberté est le moins cher. À 38 entrées, il est à égalité avec le tarif Essentiel.
Conseil : Si tu lis la question au sens « au moins aussi intéressant », la réponse est 38 entrées, l’abscisse du point d’intersection. Écris le cas d’égalité : ta réponse est alors sans ambiguïté.
Question 5. c.
Choisir le tarif qui donne le plus d’entrées pour 200 € au plus.
Aucune justification n’est demandée. On lit sur le graphique le nombre d’entrées pour un prix de 200 €.
Tarif Classique : 18 entrées coûtent 198 € et 19 entrées coûtent 209 €, donc 18 entrées au maximum.
Tarif Essentiel : 50 + 5 × 30 = 200 €, donc 30 entrées.
Tarif Liberté : l’abonnement à 240 € dépasse le budget.
C’est le tarif Essentiel, avec 30 entrées.
Exercice 4 : terrasse en béton (21 points)
La vue de dessus de la page 5 montre un rectangle EFGH complété par un triangle FGJ rectangle en F, avec HG = 6 m, EH = 3 m et EJ = 10 m. La terrasse a une hauteur de 15 cm. La question 4 s’appuie sur les trois documents de la page 6.
Question 1
Établir que FJ vaut 4 m.
EFGH est un rectangle, donc ses côtés opposés sont égaux : EF = HG = 6 m.
Le point F est sur le segment [EJ], donc FJ = EJ − EF.
FJ = 10 − 6 = 4 m
FJ = 4 m.
Question 2
Trouver la longueur de planches nécessaire pour entourer la terrasse.
Il faut le périmètre du contour E, H, G, J. Il manque la longueur GJ.
EFGH est un rectangle, donc FG = EH = 3 m.
Le triangle FGJ est rectangle en F et son hypoténuse est [GJ]. D’après le théorème de Pythagore :
GJ² = FG² + FJ²
GJ² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
GJ = √25 = 5 m
Périmètre = EH + HG + GJ + JE = 3 + 6 + 5 + 10 = 24 m
Ils doivent acheter au minimum 24 m de planches.
Conseil : Le segment [FG] est en pointillés : il est à l’intérieur de la terrasse et ne compte pas dans le contour.
Question 3. a.
Prouver que le volume de la terrasse reste sous 4 m³.
La terrasse est un prisme : sa base est la surface vue de dessus et sa hauteur vaut 15 cm = 0,15 m.
Aire du rectangle EFGH : 6 × 3 = 18 m².
Aire du triangle FGJ : (3 × 4)/2 = 6 m².
Aire de la base : 18 + 6 = 24 m².
Volume : V = 24 × 0,15 = 3,6 m³
Comme 3,6 < 4, le volume de la terrasse est bien inférieur à 4 m³.
Le volume de la terrasse est de 3,6 m³, soit moins de 4 m³.
Conseil : L’aire est en m² : convertis les 15 cm en mètres avant de multiplier.
Question 3. b.
Calculer la masse de ciment pour 4 m³ de béton.
4 × 250 = 1 000 kg
Ils doivent acheter 1 000 kg de ciment.
Question 3. c.
Déduire les masses de gravier et de sable du ratio 2 : 7 : 5.
Le ciment correspond à 2 parts du ratio, et sa masse est de 1 000 kg.
Une part pèse donc 1 000 ÷ 2 = 500 kg.
Gravier : 7 parts, soit 7 × 500 = 3 500 kg.
Sable : 5 parts, soit 5 × 500 = 2 500 kg.
Contrôle : 1 000 : 3 500 : 2 500 se simplifie bien en 2 : 7 : 5.
Il faut 3 500 kg de gravier et 2 500 kg de sable.
Conseil : Les 1 000 kg sont la masse du ciment seul, pas celle du mélange : il ne faut pas les diviser par 2 + 7 + 5 = 14.
Question 4
Trouver le choix de pots le moins cher pour peindre le dessus de la terrasse.
La surface à peindre est celle du dessus : 24 m² (question 3. a.).
Le document 3 impose deux couches : il faut couvrir 2 × 24 = 48 m².
Un litre couvre 5 m² : il faut 48 ÷ 5 = 9,6 L de peinture.
Un seul pot A (5 L) ne suffit pas. Deux possibilités donnent 10 L, ce qui suffit.
Un pot B : 129,90 €.
Deux pots A, avec l’offre du document 2 : le deuxième pot est à moitié prix. 79,90 + 79,90 ÷ 2 = 79,90 + 39,95 = 119,85 €.
Comme 119,85 < 129,90, les deux pots A coûtent le moins cher, avec 10,05 € d’économie.
Il faut acheter 2 pots A, pour 119,85 €.
Conseil : Le pot B semble le meilleur achat au litre. C’est l’offre du document 2 qui renverse le résultat.
Exercice 5 : triangles équilatéraux et Scratch (19 points)
Sur la figure de la page 7, les angles en A et en B portent le même codage, et les trois côtés du triangle CDE aussi. L’angle en A vaut 60°, AB = 240 mm et CE = 80 mm. Dans la partie B, 1 pas représente 1 mm.
Partie A, question 1
Prouver que ABC a ses trois côtés égaux.
D’après le codage, l’angle ABC est égal à l’angle BAC : il mesure 60°.
La somme des angles d’un triangle vaut 180°.
Angle ACB = 180° − 60° − 60° = 60°
Les trois angles du triangle ABC mesurent 60°.
Le triangle ABC est équilatéral.
Partie A, question 2
Prouver le parallélisme de (DE) et (AB).
Le triangle ABC est équilatéral, donc CA = CB = 240 mm.
D’après le codage, CD = CE = 80 mm.
Les points E, C, A d’une part et D, C, B d’autre part sont alignés dans le même ordre.
CE/CA = 80/240 = 1/3
CD/CB = 80/240 = 1/3
Les deux rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
Autre méthode : le triangle CDE est équilatéral d’après le codage, donc l’angle CED mesure 60°. Il est égal à l’angle CAB, et ces deux angles sont alternes-internes par rapport à la sécante (AE). Les droites sont donc parallèles.
Les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
Conseil : Pour la réciproque, cite l’alignement des points dans le même ordre, puis calcule les deux rapports séparément.
Partie B, question 1
Lire les coordonnées de départ du lutin.
Aucune justification n’est demandée. La ligne 2 du programme place le lutin à l’abscisse −180 et à l’ordonnée −150.
Le lutin part du point de coordonnées (−180 ; −150).
Partie B, question 2
Trouver le nombre à placer à la ligne 4.
Aucune justification n’est demandée. Le premier triangle tracé est le triangle ABC, de côté AB = 240 mm, soit 240 pas.
On retrouve ce nombre à la ligne 7 du programme.
Il faut saisir 240.
Partie B, question 3
Situer le lutin juste après la ligne 7.
Aucune justification n’est demandée. Voici le raisonnement.
Après la ligne 5, le triangle ABC est tracé : le lutin est revenu en A, tourné vers la droite.
La ligne 6 le fait tourner de 60° vers sa gauche : il regarde alors le long de [AC].
La ligne 7 le fait avancer de 240 pas, soit la longueur AC. Il arrive donc au point C.
Sur le quadrillage de la page 8, le point C se trouve dans la case G3.
Le lutin se trouve dans la case G3.
Partie B, question 4
Expliquer à quoi sert la division par 3 de la ligne 8.
Avant la ligne 8, la variable « côté » vaut 240. L’instruction lui donne la valeur 240 ÷ 3 = 80.
Le bloc « triangle » de la ligne 9 trace alors un triangle équilatéral de côté 80 pas, soit 80 mm.
C’est le triangle CDE, dont les côtés sont 3 fois plus petits que ceux de ABC.
Cette instruction divise le côté par 3 : le second triangle a pour côté 80 mm, la longueur CE.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, affirmation B : prendre 10, la valeur centrale de la liste, comme médiane.
Ranger les prix : 7 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15. La médiane vaut 12 €.
La médiane se lit sur la série rangée dans l’ordre croissant.
Exercice 1, affirmation E : conclure que l’aire est multipliée par 3, donc que l’affirmation est vraie.
L’aire est multipliée par 3² = 9.
Les longueurs sont multipliées par 3 et une aire est le produit de deux longueurs.
Exercice 4, question 3. a. : calculer 24 × 15 = 360 et comparer ce nombre à 4.
Convertir d’abord : 24 × 0,15 = 3,6 m³.
L’aire est en m² et la hauteur en cm : les unités doivent être les mêmes.
Exercice 4, question 3. c. : diviser 1 000 kg par 14 pour trouver une part.
Diviser 1 000 kg par 2 : une part pèse 500 kg.
Les 1 000 kg correspondent aux 2 parts de ciment, et non au mélange entier.
Exercice 4, question 4 : oublier la deuxième couche et trouver 4,8 L, donc un seul pot A.
Prévoir 48 m² à couvrir, soit 9,6 L.
Le document 3 impose deux couches de peinture.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet du brevet de maths 2024 d’Amérique du Nord ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Les cinq exercices sont indépendants et tu peux les traiter dans l’ordre de ton choix.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
Les exercices 1, 2 et 3 valent 20 points chacun, l’exercice 4 vaut 21 points et l’exercice 5 vaut 19 points.
Quelles questions n’ont pas besoin de justification ?
La question 3 de l’exercice 2, les questions 3 et 5 de l’exercice 3, et les questions 1, 2 et 3 de la partie B de l’exercice 5. Dans l’exercice 1, au contraire, chaque réponse doit être justifiée.
Quel matériel est autorisé pour ce sujet ?
La calculatrice est autorisée, en mode examen ou sans mémoire de type collège. Le dictionnaire est interdit.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.