Le sujet en bref
Le sujet des Pays du groupe 1 compte cinq exercices : un QCM de cinq questions, deux circuits d’entraînement à synchroniser, un programme de calcul relié à une fonction, une figure avec réciproque de Pythagore, cosinus, Thalès et homothétie, puis un chapeau de sorcier en forme de cône. Il fallait notamment voir qu’en divisant les longueurs d’un cône par 2, on divise son volume par 8.
Exercice 1 : QCM (20 points)
Sur la copie, il suffit de recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Les calculs ci-dessous servent à comprendre chaque réponse.
Question 1
Trouver la notation scientifique du nombre proposé.
Le premier facteur d’une écriture scientifique doit être supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10.
0,193 = 1,93 × 10⁻¹
0,193 × 10⁻¹⁰⁰ = 1,93 × 10⁻¹ × 10⁻¹⁰⁰ = 1,93 × 10⁻¹⁰¹
Réponse : 1,93 × 10⁻¹⁰¹.
Conseil : La proposition 193 × 10⁻¹⁰³ a la même valeur, mais 193 dépasse 10 : ce n’est pas une écriture scientifique.
Question 2
Calculer la vitesse moyenne de Lili, au dixième près.
On convertit d’abord la durée en heures : 42 min = 42/60 h = 0,7 h, donc 5 h 42 min = 5,7 h.
v = d ÷ t = 480 ÷ 5,7 ≈ 84,2 km/h
Réponse : 84,2.
Conseil : 5 h 42 min ne fait pas 5,42 h. Avec cette erreur, on trouve 88,6, qui fait partie des propositions.
Question 3
Dire si un nombre écrit dans le secteur vide peut porter à 3/5 la probabilité d’obtenir 2.
La roue compte 15 secteurs : 8 portent le nombre 2, 6 portent le nombre 1 et 1 est vide.
Sur 15 secteurs, une probabilité de 3/5 correspond à 9/15, soit 9 secteurs portant le nombre 2.
Il manque exactement un secteur : il faut écrire 2 dans le secteur vide.
Vérification : P(2) = 9/15 = 3/5.
Réponse : oui, en écrivant le nombre 2.
Conseil : Compte les secteurs un par un sur la figure, sans oublier le secteur vide dans le total.
Question 4
Identifier le rôle du nombre 5 dans la série de sept valeurs.
Rangée dans l’ordre croissant, la série s’écrit : 1 ; 3 ; 5 ; 10 ; 10 ; 11 ; 17.
Médiane : la 4ᵉ valeur sur 7, soit 10.
Étendue : 17 − 1 = 16.
Moyenne : (1 + 3 + 5 + 10 + 10 + 11 + 17) ÷ 7 = 57 ÷ 7 ≈ 8,1.
Le nombre 5 n’est ni la médiane, ni l’étendue, ni la moyenne.
Réponse : rien de particulier.
Question 5
Trouver la part du prix que représente chacun des trois paiements restants.
Après la réservation, il reste à payer 1 − 1/5 = 4/5 du prix.
Ce reste est partagé en trois paiements égaux : 4/5 ÷ 3 = 4/5 × 1/3 = 4/15.
Vérification : 1/5 + 3 × 4/15 = 3/15 + 12/15 = 15/15 = 1.
Réponse : 4/15.
Conseil : Partager en trois, c’est diviser par 3. La proposition 12/5 vient d’une multiplication par 3.
Exercice 2 : circuits d’entraînement et multiples communs (20 points)
Les deux circuits sont schématisés en haut de la page 3 du sujet. Chaque circuit se referme sur l’exercice 1 : il y a donc autant de temps de repos que d’exercices.
Question 1
Établir la durée d’un tour de chaque circuit.
Circuit 1 : chacun des 5 exercices dure 40 s et il est suivi de 16 s de repos.
5 × (40 + 16) = 5 × 56 = 280 s
Circuit 2 : chacun des 10 exercices dure 30 s et il est suivi de 5 s de repos.
10 × (30 + 5) = 10 × 35 = 350 s
Le circuit 1 dure bien 280 s et le circuit 2 dure bien 350 s.
Question 2
Décomposer 280 et 350 en facteurs premiers.
280 = 2 × 140 = 2 × 2 × 70 = 2 × 2 × 2 × 35 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7
350 = 2 × 175 = 2 × 5 × 35 = 2 × 5 × 5 × 7
Vérification : 8 × 5 × 7 = 280 et 2 × 25 × 7 = 350.
280 = 2³ × 5 × 7 et 350 = 2 × 5² × 7.
Question 3. a.
Expliquer la position de Camille après 2 800 s, puis situer Dominique au même instant.
Camille repasse au départ à la fin de chaque tour, donc à chaque multiple de 280 s.
2 800 ÷ 280 = 10 : à cet instant, Camille vient de finir exactement 10 tours et se trouve de nouveau au départ du circuit 1.
Pour Dominique, un tour dure 350 s.
2 800 ÷ 350 = 8 : Dominique vient de finir exactement 8 tours.
Après 2 800 s, Dominique se trouve également au départ de son circuit, à l’exercice 1.
Question 3. b.
Déterminer au bout de combien de temps Camille et Dominique repassent ensemble au départ pour la première fois.
Il faut une durée qui soit à la fois un multiple de 280 et un multiple de 350, et la plus petite possible.
Multiples de 280 : 280 ; 560 ; 840 ; 1 120 ; 1 400 ; …
Multiples de 350 : 350 ; 700 ; 1 050 ; 1 400 ; …
Le plus petit multiple commun est 1 400.
Contrôle avec les décompositions : on garde chaque facteur premier avec son plus grand exposant, soit 2³ × 5² × 7 = 8 × 25 × 7 = 1 400.
Cela fait 5 tours pour Camille (5 × 280 = 1 400) et 4 tours pour Dominique (4 × 350 = 1 400).
Conversion : 1 400 = 23 × 60 + 20, donc 1 400 s = 23 min 20 s.
Camille et Dominique se retrouvent pour la première fois au départ après 23 min 20 s.
Conseil : La durée 2 800 s de la question a. convient aussi, mais ce n’est pas la première fois : c’est le double de 1 400 s.
Exercice 3 : programme de calcul et fonction (20 points)
Le programme, schématisé en haut de la page 4, part d’un nombre, lui retire 2 d’un côté, lui ajoute 1 de l’autre, puis multiplie les deux résultats.
Partie A, question 1
Appliquer le programme au nombre 5.
5 − 2 = 3
5 + 1 = 6
3 × 6 = 18
Le résultat final est bien 18.
Partie A, question 2
Appliquer le programme au nombre −3/2.
−3/2 − 2 = −3/2 − 4/2 = −7/2
−3/2 + 1 = −3/2 + 2/2 = −1/2
(−7/2) × (−1/2) = 7/4
Contrôle en écriture décimale : (−1,5 − 2) × (−1,5 + 1) = (−3,5) × (−0,5) = 1,75.
Le résultat final est 7/4, soit 1,75.
Partie A, question 3
Remplir les emplacements vides des lignes 3, 4 et 5 du script de l’annexe.
La variable a reçoit le nombre choisi diminué de 2, et la variable b le nombre choisi augmenté de 1.
Ligne 3 : mettre a à réponse − 2
Ligne 4 : mettre b à réponse + 1
Ligne 5 : dire a * b pendant 2 secondes
Il faut écrire 2 à la ligne 3, 1 à la ligne 4, puis a et b à la ligne 5.
Conseil : À la ligne 5, on utilise les variables a et b, et non le mot « réponse » : ce sont elles qui contiennent les deux résultats.
Partie B, question 1
Développer (x − 2)(x + 1) pour retrouver l’expression de g.
On applique la double distributivité.
(x − 2)(x + 1) = x × x + x × 1 − 2 × x − 2 × 1
(x − 2)(x + 1) = x² + x − 2x − 2
(x − 2)(x + 1) = x² − x − 2
(x − 2)(x + 1) = x² − x − 2.
Partie B, question 2. a.
Trouver les valeurs de x qui annulent ce produit.
Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
x − 2 = 0 ou x + 1 = 0
x = 2 ou x = −1
Les solutions sont 2 et −1.
Partie B, question 2. b.
Donner les nombres dont l’image par g est 0.
D’après la question 1, g(x) = (x − 2)(x + 1). Chercher les antécédents de 0, c’est donc résoudre l’équation de la question 2. a.
Les antécédents de 0 par g sont −1 et 2.
Partie B, question 3
Choisir le graphique qui représente g.
La courbe de g doit couper l’axe des abscisses en −1 et en 2. Elle doit aussi passer par le point de coordonnées (0 ; −2), car g(0) = −2.
Le graphique 1 est une droite qui passe par (0 ; 2) : il ne convient pas.
Le graphique 2 est une droite qui passe par (0 ; 2) : il ne convient pas non plus.
Le graphique 3 est une courbe qui coupe l’axe des abscisses en −1 et en 2, et l’axe des ordonnées en −2.
C’est le graphique 3.
Partie B, question 4
Trouver les nombres de départ pour lesquels le programme donne 0.
Pour un nombre de départ x, le programme calcule (x − 2) et (x + 1), puis leur produit. Le résultat final est donc (x − 2)(x + 1), c’est-à-dire g(x).
Le programme donne 0 quand (x − 2)(x + 1) = 0, donc pour x = 2 ou x = −1, d’après la question 2. a.
Vérification : (2 − 2) × (2 + 1) = 0 × 3 = 0 et (−1 − 2) × (−1 + 1) = (−3) × 0 = 0.
Il faut choisir −1 ou 2.
Conseil : La justification tient dans le lien entre les deux parties : écris d’abord que le programme calcule (x − 2)(x + 1).
Exercice 4 : Pythagore, cosinus, Thalès et homothétie (16 points)
La figure de la page 5 n’est pas en vraie grandeur. Les points E, A, F d’une part et E, B, D d’autre part sont alignés, avec (FD) parallèle à (AB).
Question 1
Prouver que le triangle ABE possède un angle droit.
Le plus long côté du triangle ABE est [AB]. On compare son carré à la somme des carrés des deux autres côtés.
AB² = 5,5² = 30,25
AE² + EB² = 4,4² + 3,3² = 19,36 + 10,89 = 30,25
On a AB² = AE² + EB². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en E.
Le triangle ABE est rectangle en E.
Conseil : Calcule les deux membres séparément, puis cite bien la réciproque : c’est elle qui prouve l’angle droit, pas le théorème direct.
Question 2
Trouver l’angle ABE à l’aide du triangle rectangle.
Le triangle ABE est rectangle en E. Pour l’angle ABE, [EB] est le côté adjacent et [AB] l’hypoténuse.
cos(ABE) = EB/AB = 3,3/5,5 = 0,6
À la calculatrice, on obtient angle ABE ≈ 53,13°.
Contrôle avec la tangente : tan(ABE) = AE/EB = 4,4/3,3, ce qui donne la même mesure.
L’angle ABE mesure environ 53°.
Question 3
Trouver FD à l’aide des droites parallèles.
Le point B appartient au segment [ED], donc ED = EB + BD = 3,3 + 6,6 = 9,9 cm.
Les droites (AF) et (BD) se coupent en E, et les droites (AB) et (FD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
EA/EF = EB/ED = AB/FD
3,3/9,9 = 5,5/FD
FD = 5,5 × 9,9 ÷ 3,3 = 5,5 × 3 = 16,5 cm
FD = 16,5 cm.
Conseil : Dans les rapports, il faut ED et non BD : les longueurs se mesurent toutes à partir du point E.
Question 4
Trouver le rapport de l’homothétie de centre E qui envoie EAB sur EFD.
Le rapport est le coefficient qui multiplie les longueurs : ED/EB = 9,9/3,3 = 3.
Contrôle : FD/AB = 16,5/5,5 = 3.
Il est positif, car B et son image D sont du même côté du centre E.
Le rapport de l’homothétie est 3.
Exercice 5 : le chapeau de sorcier (24 points)
Les parties A et B sont indépendantes. Le chapeau est un cône de sommet S, de rayon de base OM = 9 cm et de hauteur OS = 30 cm.
Partie A, question 1
Retrouver par le calcul la valeur de MS, au dixième près.
La hauteur [OS] est perpendiculaire à la base du cône, donc le triangle SOM est rectangle en O. Son hypoténuse est [MS].
D’après le théorème de Pythagore :
MS² = OM² + OS²
MS² = 9² + 30² = 81 + 900 = 981
MS = √981 ≈ 31,3 cm
MS ≈ 31,3 cm, au dixième de centimètre près.
Partie A, question 2
Décider si le chapeau convient à un tour de tête de 56 cm.
Le tour du chapeau est la longueur du cercle de base, de rayon 9 cm.
2 × π × 9 = 18π ≈ 56,5 cm
Ici, des dimensions « adaptées » signifient que le chapeau peut entrer sur la tête sans être beaucoup trop large.
Comme 56,5 > 56, le chapeau entre sur la tête. Il est un peu plus large qu’elle, d’environ 0,5 cm seulement : les dimensions sont adaptées.
Autre lecture : si l’on exigeait deux longueurs exactement égales, la réponse serait non. Cette lecture est moins défendable, car un chapeau doit garder un peu de jeu.
Oui : le tour du chapeau mesure environ 56,5 cm, ce qui convient à un tour de tête de 56 cm.
Conseil : Cette valeur de 56,5 cm est la longueur de l’arc sur le patron de la question suivante : l’arc s’enroule exactement autour de la base.
Partie A, question 3. a.
Calculer la longueur du cercle complet de rayon SM.
Le patron indique SM = 31,3 cm.
2 × π × 31,3 = 62,6π ≈ 196,66 cm
La longueur du cercle est bien 196,7 cm, au dixième près.
Conseil : Prends ici la valeur 31,3 cm portée sur le patron. Avec la valeur exacte √981, la calculatrice donne 196,8 : il ne faut pas s’en inquiéter, l’écart vient de l’arrondi.
Partie A, question 3. b.
Reporter 196,7 dans le tableau de l’annexe.
Le cercle complet correspond à un angle de 360°. La valeur 196,7 se place donc sous 360, dans la ligne des longueurs d’arc.
Dans la ligne des longueurs, 196,7 se trouve sous 360 et 56,5 reste dans la dernière colonne.
Partie A, question 3. c.
Déterminer l’angle du patron pour un arc de 56,5 cm, au degré près.
L’angle est proportionnel à la longueur de l’arc. On applique le produit en croix au tableau.
Angle = 360 × 56,5 ÷ 196,7
Angle = 20 340 ÷ 196,7 ≈ 103,4°
L’angle M′SM mesure environ 103°.
Partie B, question 1
Établir le volume du chapeau, arrondi au cm³.
V = 1/3 × π × R² × h
V = 1/3 × π × 9² × 30
V = 1/3 × π × 81 × 30 = 810π
V ≈ 2 544,7 cm³
Le volume du chapeau est bien 2 545 cm³, arrondi au cm³.
Partie B, question 2
Vérifier si les bonbons, qui montent à mi-hauteur, occupent moins de 15 % du chapeau.
Le chapeau est retourné, pointe en bas. Les bonbons forment un petit cône de hauteur 15 cm, qui est une réduction du chapeau.
Le rapport de réduction vaut k = 15/30 = 1/2.
Dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k³.
k³ = (1/2)³ = 1/8 = 0,125
Les bonbons occupent donc 12,5 % du volume total, et 12,5 % < 15 %.
Contrôle par le calcul direct : le petit cône a pour rayon 9 ÷ 2 = 4,5 cm, donc V = 1/3 × π × 4,5² × 15 = 101,25π ≈ 318 cm³. Or 15 % de 2 545 cm³ font 381,75 cm³, et 318 < 381,75.
Oui, l’estimation de Léo est correcte : les bonbons occupent 12,5 % du volume du chapeau.
Conseil : La moitié de la hauteur ne donne pas la moitié du volume. Le rapport 1/2 porte sur les longueurs : il faut l’élever au cube pour les volumes.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, question 2 : écrire 5 h 42 min = 5,42 h et répondre 88,6.
Écrire 5 h 42 min = 5,7 h et répondre 84,2.
Une heure compte 60 minutes : 42 min valent 42/60 = 0,7 h.
Exercice 2, question 3. b. : répondre 2 800 s, ou multiplier 280 par 350.
Prendre le plus petit multiple commun : 1 400 s, soit 23 min 20 s.
Le sujet demande la première rencontre au départ. Ces deux durées sont des multiples communs, mais pas les plus petits.
Exercice 4, question 3 : écrire le rapport 3,3/6,6 et trouver FD = 11 cm.
Écrire le rapport 3,3/9,9 et trouver FD = 16,5 cm.
Le théorème de Thalès compare EB à ED, et non à BD, car les deux triangles ont le sommet E en commun.
Exercice 5, partie B, question 2 : dire que les bonbons remplissent la moitié du chapeau.
Multiplier le volume par (1/2)³ = 1/8, ce qui donne 12,5 %.
En divisant les longueurs par 2, on divise les volumes par 2³ = 8.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet du brevet de maths 2024 des Pays du groupe 1 ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Les cinq exercices sont indépendants, et tu peux les traiter dans l’ordre de ton choix.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
Les exercices 1, 2 et 3 valent 20 points chacun, l’exercice 4 vaut 16 points et l’exercice 5 vaut 24 points.
Quelles questions n’ont pas besoin de justification ?
Le QCM de l’exercice 1, la question 4 de l’exercice 4 et, à l’exercice 3, la question 3 de la partie A avec les questions 2. b. et 3 de la partie B. Partout ailleurs, il faut justifier.
Que faut-il rendre avec la copie ?
L’annexe de la page 8, qui contient le script de l’exercice 3 et le tableau de l’exercice 5. C’est là que tu écris ces deux réponses.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.