Le sujet en bref
Le sujet de Polynésie française compte cinq exercices : un QCM de cinq questions, les coûts des jeux Olympiques avec pourcentage et moyenne, un centre aquatique avec Pythagore, Thalès, tangente et énergie, un tirage de boules dans deux boîtes, puis une équation abordée au tableur, sur Scratch et par le calcul. Il fallait comprendre pourquoi seul le calcul donne toutes les solutions.
Exercice 1 : QCM (20 points)
Sur la copie, écris le numéro de la question et l’affirmation choisie, sans justification. Les explications ci-dessous servent à comprendre chaque réponse.
Question 1
Déterminer si le triangle ABC a un angle droit, et à quel sommet.
Le plus long côté est [AC], avec AC = 29 cm.
AC² = 29² = 841
AB² + BC² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841
On a AC² = AB² + BC². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et l’angle droit est en face de [AC], donc en B.
Réponse : ABC est un triangle rectangle en B.
Question 2
Retrouver l’expression de f à partir de sa droite.
La droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1), donc f(0) = 1. Cela écarte 2x − 2 et x/2 − 2.
La droite passe aussi par (2 ; 2) : quand x augmente de 2, f(x) augmente de 1. Le coefficient directeur vaut donc 1/2.
Vérification : la droite passe par (−2 ; 0), et −2/2 + 1 = 0.
Réponse : f(x) = x/2 + 1.
Question 3
Reconnaître la transformation qui envoie le carré n°1 sur le carré n°2.
Le carré n°2 est plus grand que le carré n°1. La symétrie centrale et la translation conservent les longueurs : elles sont écartées.
Il reste une homothétie de centre O. Le point C a pour image E, et le codage de la figure montre que OE = 2 × OC.
C et E sont de part et d’autre du centre O : le rapport est négatif.
Réponse : l’homothétie de centre O et de rapport −2.
Conseil : Le signe se lit sur la figure : ici, l’image est de l’autre côté du centre. Avec un rapport 2, le carré n°2 serait du même côté de O que le carré n°1.
Question 4
Trouver la quantité de jus de fruit de la passion pour 90 cL de cocktail.
Le ratio 10 : 6 : 2 partage le cocktail en 10 + 6 + 2 = 18 parts égales.
Une part vaut 90 ÷ 18 = 5 cL.
Le jus de fruit de la passion représente 6 parts : 6 × 5 = 30 cL.
Vérification : 50 + 30 + 10 = 90 cL.
Réponse : 30 cL de jus de fruit de la passion.
Question 5
Trouver le nombre maximal de sacs identiques qu’on peut former avec tous les fruits.
Le nombre de sacs doit diviser à la fois 408 et 168. On cherche leur plus grand diviseur commun.
408 = 2³ × 3 × 17
168 = 2³ × 3 × 7
Le plus grand diviseur commun vaut 2³ × 3 = 24.
Vérification : 408 ÷ 24 = 17 et 168 ÷ 24 = 7, soit 17 pommes et 7 poires par sac.
Réponse : 24 sacs.
Conseil : La proposition 48 ne convient pas : 408 ÷ 48 = 8,5, ce n’est pas un nombre entier.
Exercice 2 : le coût des jeux Olympiques (17 points)
Toutes les valeurs, en milliards d’euros, sont écrites au-dessus des barres du graphique de la page 3. Il compare, pour huit éditions de 1992 à 2021, le coût prévu et le coût réel.
Question 1
Compter les éditions dont le coût réel atteint au moins 10 milliards d’euros.
Les coûts réels sont, dans l’ordre du graphique : 9,3 ; 2,3 ; 5,5 ; 10 ; 31 ; 11 ; 16,5 ; 12,1.
Les éditions concernées sont Athènes (10), Pékin (31), Londres (11), Rio de Janeiro (16,5) et Tokyo (12,1).
5 éditions ont un coût réel supérieur ou égal à 10 milliards d’euros.
Conseil : Athènes compte : son coût réel vaut exactement 10, et le seuil est inclus.
Question 2
Calculer la hausse en pourcentage du coût des JO de Rio de Janeiro, à l’unité près.
Le coût prévu est 9 milliards d’euros et le coût réel 16,5 milliards d’euros.
Augmentation : 16,5 − 9 = 7,5 milliards d’euros.
On rapporte cette augmentation à la valeur de départ : 7,5/9 × 100 ≈ 83,3 %.
Contrôle : 9 × 1,83 = 16,47, proche de 16,5.
Le coût a augmenté d’environ 83 %.
Question 3
Établir la moyenne des coûts réels sur les huit éditions.
Somme des coûts réels : 9,3 + 2,3 + 5,5 + 10 + 31 + 11 + 16,5 + 12,1 = 97,7.
Moyenne : 97,7 ÷ 8 = 12,2125.
Le coût réel moyen est bien 12,2 milliards d’euros, arrondi au dixième de milliard.
Question 4. a.
Juger la phrase du journaliste sur la moitié des éditions.
Seules deux éditions dépassent 12,2 milliards d’euros : Pékin (31) et Rio de Janeiro (16,5). Tokyo, à 12,1, reste juste en dessous.
Cela fait 2 éditions sur 8, soit un quart, et non la moitié.
Le journaliste semble confondre la moyenne et la médiane. C’est la médiane qui partage une série en deux moitiés.
Rangés dans l’ordre croissant, les coûts réels sont : 2,3 ; 5,5 ; 9,3 ; 10 ; 11 ; 12,1 ; 16,5 ; 31. La médiane est (10 + 11) ÷ 2 = 10,5 milliards d’euros.
La moyenne est tirée vers le haut par le coût de Pékin, très supérieur aux autres.
L’affirmation est fausse : seules 2 éditions sur 8 dépassent 12,2 milliards d’euros.
Question 4. b.
Retrouver le coût prévu des JO de Paris 2024 à partir de la moyenne donnée.
De 1992 à 2024, il y a 9 éditions : les 8 du graphique et celle de Paris.
Une moyenne de 5,5 sur 9 éditions correspond à un total de 9 × 5,5 = 49,5 milliards d’euros.
Somme des 8 coûts prévus du graphique : 3,5 + 1,8 + 3 + 5,3 + 2,6 + 4,8 + 9 + 13 = 43.
Coût prévu de Paris 2024 : 49,5 − 43 = 6,5 milliards d’euros.
Vérification : (43 + 6,5) ÷ 9 = 49,5 ÷ 9 = 5,5.
Elle devrait annoncer environ 6,5 milliards d’euros.
Conseil : Ici, on utilise les coûts prévisionnels, pas les coûts réels, et on compte 9 éditions, car Paris s’ajoute aux 8 du graphique.
Exercice 3 : le Centre Aquatique Olympique (22 points)
La figure de la page 4 n’est pas à l’échelle. Elle donne les triangles ABC, rectangle en C, et FED, rectangle en E, avec le point J sur [FD] et le point H sur [FE], et un angle droit en H.
Question 1. a.
Trouver la distance entre Alyssa et le bassin, à partir du triangle ABC.
Le triangle ABC est rectangle en C, et son hypoténuse est [AB]. D’après le théorème de Pythagore :
AB² = AC² + BC²
AB² = 15² + 27² = 225 + 729 = 954
AB = √954 ≈ 30,9 m
AB ≈ 31 m, au mètre près.
Question 1. b.
Contrôler que JD vaut environ 24 m.
Les droites (JH) et (DE) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (FE), donc elles sont parallèles.
Les droites (FD) et (FE) se coupent en F, et les droites (JH) et (DE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
FJ/FD = FH/FE = JH/DE
15/FD = 7/18
FD = 15 × 18 ÷ 7 = 270/7 ≈ 38,57 m
Le point J est sur le segment [FD], donc JD = FD − FJ.
JD ≈ 38,57 − 15 = 23,57 m
JD ≈ 24 m, au mètre près.
Conseil : Justifie le parallélisme avant d’appliquer le théorème de Thalès : le sujet ne le donne pas, il se déduit des deux angles droits.
Question 1. c.
Comparer les deux distances pour désigner le plus proche d’un bord.
Alyssa est à environ 31 m du bord et Jules à environ 24 m.
Comme 24 < 31, Jules est plus proche.
Jules est le plus proche d’un bord de la piscine.
Question 2
Calculer l’inclinaison des gradins Nord et la comparer à 35°.
Dans le triangle ABC rectangle en C, [AC] est le côté opposé à l’angle ABC et [BC] son côté adjacent.
tan(ABC) = AC/BC = 15/27
À la calculatrice, on obtient angle ABC ≈ 29°.
Comme 29° < 35°, la norme est respectée.
Oui : les gradins Nord sont inclinés d’environ 29°, ce qui ne dépasse pas 35°.
Conseil : La tangente utilise les deux longueurs de l’énoncé. Elle évite de repartir de la valeur arrondie de AB.
Question 3
Établir la production annuelle d’énergie de tous les panneaux.
Aire d’un panneau : 1 × 1,7 = 1,7 m².
Nombre de panneaux : 4 678,4 ÷ 1,7 = 2 752.
Énergie produite en un an : 2 752 × 350 = 963 200 kWh.
La production annuelle est bien de 963 200 kWh.
Conseil : La surface de 5 000 m² ne sert pas : seule la partie recouverte de panneaux compte.
Question 4
Calculer l’énergie nécessaire pour porter toute l’eau du bassin à 26°.
Volume d’eau : V = 50 × 25 × 3 = 3 750 m³.
Il faut environ 9,3 kWh par mètre cube, pour tout le passage de 18° à 26°.
3 750 × 9,3 = 34 875 kWh
Il faut environ 34 875 kWh.
Conseil : Ne multiplie pas par l’écart de température : les 9,3 kWh correspondent déjà au passage de 18° à 26°.
Exercice 4 : boules numérotées et produits (18 points)
La première boîte contient les boules 2, 3 et 5, la deuxième les boules 3 et 5. Les boules sont indiscernables au toucher, donc tous les tirages ont la même chance de se produire.
Question 1
Remplir le tableau de l’annexe avec tous les produits possibles.
Ligne du 5 : 5 × 3 = 15 et 5 × 5 = 25.
Ligne du 2 : 2 × 3 = 6, et 2 × 5 = 10 est déjà écrit.
Ligne du 3 : 3 × 3 = 9 et 3 × 5 = 15.
Ligne du 5 : 15 et 25. Ligne du 2 : 6 et 10. Ligne du 3 : 9 et 15.
Conseil : Dans le tableau de l’annexe, les lignes sont dans l’ordre 5, 2, 3. Suis cet ordre.
Question 2
Calculer la probabilité que le produit soit 15.
Le tableau contient 6 résultats, qui ont tous la même chance de se produire.
Le nombre 15 y apparaît 2 fois.
P(15) = 2/6 = 1/3
La probabilité d’obtenir 15 est 1/3.
Question 3
Vérifier si la probabilité d’obtenir un multiple de 3 vaut 2/3.
Parmi les 6 résultats, les multiples de 3 sont 15, 6, 9 et 15, soit 4 résultats. Les nombres 25 et 10 n’en sont pas.
P(multiple de 3) = 4/6 = 2/3
L’affirmation est vraie.
Question 4
Retrouver les deux nombres de la troisième boîte à partir des résultats d’Anissa et de Bilel.
Le produit des deux premières boules vaut 6, 9, 10, 15 ou 25, d’après le tableau. Le nombre de la troisième boule est un entier, donc ce produit doit diviser le résultat final.
Anissa : 165 = 3 × 5 × 11. Parmi ces produits, seul 15 divise 165, et 165 ÷ 15 = 11.
Bilel : 78 = 2 × 3 × 13. Parmi ces produits, seul 6 divise 78, et 78 ÷ 6 = 13.
Vérification : 3 × 5 × 11 = 165 et 2 × 3 × 13 = 78.
Les boules de la troisième boîte portent les numéros 11 et 13.
Exercice 5 : une équation, trois méthodes (23 points)
Les fonctions sont f(x) = (x + 2)² − x et g(x) = 7x + 4. Les parties A et B sont indépendantes. Le tableau de Paul est à la page 6, le programme de Jane à la page 7.
Partie A, question 1
Trouver l’image de −4 par f.
f(−4) = (−4 + 2)² − (−4)
f(−4) = (−2)² + 4
f(−4) = 4 + 4 = 8
f(−4) = 8.
Partie A, question 2
Trouver un nombre dont l’image par g est 3.
On résout l’équation g(x) = 3.
7x + 4 = 3
7x = −1
x = −1/7
Vérification : 7 × (−1/7) + 4 = −1 + 4 = 3.
Un antécédent de 3 par g est −1/7.
Conseil : On cherche l’antécédent, et non l’image : calculer g(3) = 25 ne répond pas à la question.
Partie B, question 1. a.
Donner la formule entrée en B3.
La cellule B3 doit contenir g(x), et la valeur de x se trouve en B1.
Vérification : pour x = −3, on obtient 7 × (−3) + 4 = −17, comme dans le tableau.
=7*B1+4
Conseil : Une formule de tableur commence par le signe égal. La référence B1 permet à la formule de s’adapter quand on l’étire.
Partie B, question 1. b.
Lire dans le tableau les valeurs de x pour lesquelles f(x) et g(x) sont égales.
Il faut une colonne où les lignes 2 et 3 affichent le même nombre.
C’est le cas seulement pour x = 0, avec f(0) = g(0) = 4.
Paul trouve une seule solution : x = 0.
Partie B, question 2. a.
Remplir les deux emplacements de la ligne 4 du programme.
Comme g(x) = 7x + 4, la variable « image par g » doit recevoir 7 fois la réponse, plus 4.
Ligne 4 : mettre image par g à 7 * réponse + 4
Il faut écrire 7 dans le premier emplacement et 4 dans le second.
Partie B, question 2. b.
Dérouler le programme pour le nombre 0.
Ligne 3 : (0 + 2) * (0 + 2) − 0 = 4, donc « image par f » vaut 4.
Ligne 4 : 7 * 0 + 4 = 4, donc « image par g » vaut 4.
Les deux valeurs sont égales : la condition de la ligne 5 est vraie, et le programme exécute la ligne 6.
Le programme répond : « Le nombre choisi est une solution de l’équation f(x)=g(x) ».
Partie B, question 2. c.
Tirer de ce test une solution de l’équation.
Le programme a confirmé que f(0) = g(0).
x = 0 est une solution de l’équation f(x) = g(x).
Partie B, question 3. a.
Transformer l’équation pour arriver à x² − 4x = 0.
f(x) = g(x) s’écrit (x + 2)² − x = 7x + 4.
On développe avec l’identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b² :
x² + 4x + 4 − x = 7x + 4
x² + 3x + 4 = 7x + 4
On retire 7x et 4 à chaque membre :
x² + 3x − 7x + 4 − 4 = 0
x² − 4x = 0
L’équation f(x) = g(x) revient bien à x² − 4x = 0.
Partie B, question 3. b.
Écrire x² − 4x sous forme de produit.
Le facteur commun est x, car x² = x × x et 4x = x × 4.
x² − 4x = x × x − x × 4 = x(x − 4)
x² − 4x = x(x − 4).
Partie B, question 3. c.
Trouver toutes les solutions à partir de la forme factorisée.
L’équation s’écrit x(x − 4) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
x = 0 ou x − 4 = 0
x = 0 ou x = 4
Vérification pour x = 4 : f(4) = 6² − 4 = 32 et g(4) = 7 × 4 + 4 = 32.
Les solutions sont 0 et 4.
Partie B, question 4
Dire qui a réellement résolu l’équation, en expliquant pourquoi.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions. Ici, ce sont 0 et 4.
Paul n’a pas résolu l’équation : il n’a testé que les entiers de −3 à 3. Il trouve 0, mais pas 4.
Jane n’a pas résolu l’équation : elle ne teste que les entiers de −5 à 3. Elle trouve 0, mais 4 reste en dehors de ses essais.
Morgane a résolu l’équation : ses calculs sont valables pour tous les nombres, et elle obtient les deux solutions.
Seule Morgane a résolu l’équation. Paul et Jane n’ont trouvé que la solution 0.
Conseil : Tester des valeurs peut montrer qu’un nombre est solution, mais pas qu’il n’y en a pas d’autres.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 2, question 2 : calculer 7,5/16,5 et annoncer une hausse d’environ 45 %.
Calculer 7,5/9, soit une hausse d’environ 83 %.
Un pourcentage d’augmentation se calcule par rapport à la valeur de départ, ici le coût prévu.
Exercice 2, question 4. a. : accepter la phrase du journaliste parce que 12,2 est la moyenne.
Compter les éditions au-dessus de 12,2 : il y en a 2 sur 8.
La moyenne ne partage pas une série en deux moitiés : c’est le rôle de la médiane.
Exercice 3, question 1. b. : s’arrêter à FD ≈ 38,6 m.
Retirer FJ : JD ≈ 38,57 − 15 ≈ 24 m.
Le théorème de Thalès donne la longueur FD. Le sujet demande la longueur JD, qui n’en est qu’une partie.
Exercice 5, partie B, question 3. a. : écrire (x + 2)² = x² + 4.
Écrire (x + 2)² = x² + 4x + 4.
Il ne faut pas oublier le double produit 2 × x × 2 = 4x de l’identité remarquable.
Exercice 5, partie B, question 4 : dire que Paul et Jane ont résolu l’équation, car ils ont trouvé 0.
Dire que seule Morgane l’a résolue, car 4 est aussi solution.
Leurs essais s’arrêtent à x = 3. Ils ne peuvent ni rencontrer 4, ni exclure d’autres solutions.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet du brevet de maths 2024 de Polynésie française ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Les cinq exercices sont indépendants, et tu peux les traiter dans l’ordre de ton choix.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
L’exercice 1 vaut 20 points, l’exercice 2 en vaut 17, l’exercice 3 en vaut 22, l’exercice 4 en vaut 18 et l’exercice 5 en vaut 23.
Que faut-il rendre avec la copie ?
L’annexe de la page 7, qui contient le tableau de l’exercice 4 et le programme de l’exercice 5. C’est là que tu écris les réponses aux questions 1 de l’exercice 4 et 2. a. de la partie B de l’exercice 5.
Quelles questions n’ont pas besoin de justification ?
Le sujet ne dispense de justification que le QCM de l’exercice 1. Pour toutes les autres questions, il faut justifier et laisser une trace de ta recherche, même si tu ne termines pas.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.